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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4.
Hallar la ecuación de la recta tangente al grafico de $f$ en el punto $(x_{0}, f(x_{0}))$ para el $x_{0}$ dado.
b) $f(x)=\frac{5}{3 x^{2}+7}$ en $x_{0}=0$
b) $f(x)=\frac{5}{3 x^{2}+7}$ en $x_{0}=0$
Respuesta
1. Planteamos la ecuación de la recta:
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La ecuación de la recta es:
$ y = mx + b $
Para el punto \((x_0, y_0)\) nos queda:
$ y_0 = mx_0 + b $
donde \(m = f'(x_0)\) y \(y_0 = f(x_0)\).
2. Primero calculemos la derivada de la función para poder hallar la pendiente \(m = f'(x_0)\):
$ f(x) = \frac{5}{3x^2 + 7} $
Usaremos la regla de la división para derivar y nos queda:
$ f'(x) = \frac{(0)(3x^2 + 7) - (5)(6x)}{(3x^2 + 7)^2} $
Reordenamos un poco la derivada
$ f'(x) = \frac{-30x}{(3x^2 + 7)^2} $
Ahora evaluamos la derivada en \(x_0 = 0\) para obtener la pendiente de la tangente:
$ m = f'(0) = \frac{-30(0)}{(3(0)^2 + 7)^2} = \frac{0}{49} = 0 $
3. Ahora calculemos \(y_0 = f(x_0)\):
$ f(0) = \frac{5}{3(0)^2 + 7} = \frac{5}{7} $
Reemplacemos los valores en la ecuación de la recta:
$ y_0 = mx_0 + b $
$ \frac{5}{7} = 0 \cdot 0 + b $
$ b = \frac{5}{7} $
Reemplazamos los valores de \(m\) y \(b\) en la ecuación de la recta y nos queda \(y = 0x + \frac{5}{7}\).
La ecuación de la recta tangente es \(y = \frac{5}{7}\).