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Matemática 51

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5 - Derivadas

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4. Hallar la ecuación de la recta tangente al grafico de $f$ en el punto $(x_{0}, f(x_{0}))$ para el $x_{0}$ dado.
b) $f(x)=\frac{5}{3 x^{2}+7}$ en $x_{0}=0$

Respuesta


1. Planteamos la ecuación de la recta tangente, que no es otra que la ecuación de una recta:

La ecuación de la recta es $y = mx + b$.


Para el punto $(x_0, y_0)$ nos queda:

$y_0 = mx_0 + b$

donde $m = f'(x_0)$ y $y_0 = f(x_0)$.



2. Sabemos que ✨$m = f'(x_0)$✨. Por lo que vamos a calcular la derivada de la función para poder hallar la pendiente $m$:


$ f(x) = \frac{5}{3x^2 + 7} $


La derivada de $f(x)$ es:


$ f'(x) = \frac{(0)(3x^2 + 7) - (5)(6x)}{(3x^2 + 7)^2} $


Reordenamos un poco la derivada (no es necesario pero a mi me gusta más)

$ f'(x) = \frac{-30x}{(3x^2 + 7)^2} $


Ahora evaluamos la derivada en $x_0 = 0$ para obtener la pendiente de la tangente:


$ m = f'(0) = \frac{-30(0)}{(3(0)^2 + 7)^2} = \frac{0}{49} = 0 $


$m = 0$ 

Oh mirá, esto te indica que la recta tangente a la gráfica de $f$ en ese punto es una constante, una línea horizontal. Dato de color.

 

3. Ahora calculemos $y_0 = f(x_0)$:


$f(x_0) = $f(0)$


$f(0) = \frac{5}{3(0)^2 + 7} = \frac{5}{7}$


$f(0) = \frac{5}{7}$  ->  $y_0 = \frac{5}{7}$ 





4. Reemplacemos los valores de $m$, $x_0$ e $y_0$ en la ecuación de la recta para despejar $b$:


$y_0 = mx_0 + b$


$ \frac{5}{7} = 0 \cdot 0 + b $

$b = \frac{5}{7} $





5. Reemplazamos los valores de $m$ y $b$ en la ecuación de la recta: 

$y = 0x + \frac{5}{7}$




La ecuación de la recta tangente es $y = \frac{5}{7}$.
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Avatar Ariana 12 de noviembre 09:48
Hola profe Juli. Una pregunta, por que en la derivada lo que esta en parentesis desaparece? yo lo hice y me quedo en el numerador -30X (3X+7) elevado a la 2 y en el numerador si me quedo igual que usted. Como llego a ese resultado?
Avatar Julieta Profesor 12 de noviembre 11:31
@Ariana Hola! Es porque la derivada de 5 da cero. Y ese cero multiplica al paréntesis de al lado. Cualquier cosa multiplicada por cero da cero. :)
Avatar Ariana 12 de noviembre 22:27
@Julieta Aah okis, gracias profe =)
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